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高考非常受用的数学公式及应试技巧

来源:美术高考网    整理:华艺名教育    时间:2014-03-01

  坐标几何

  一对垂直相交于平面的轴线,可以让平面上的任意一点用一组实数来表示。轴线的交点是 (0, 0),称为原点。水平与垂直方向的位置,分别用x与y代表。

  一条直线可以用方程式y=mx+c来表示,m是直线的斜率(gradient)。这条直线与y轴相交于 (0,c),与x轴则相交于(–c/m, 0)。垂直线的方程式则是x=k,x为定值。

  通过(x0, y0)这一点,且斜率为n的直线是y–y0=n(x–x0)

  一条直线若垂直于斜率为n的直线,则其斜率为–1/n。通过(x1, y1)与(x2, y2)两点的直线是y=(y2–y1/x2–x1)(x–x2)+y2x1≠x2

  若两直线的斜率分别为m与n,则它们的夹角θ满足于tanθ=m–n/1+mn半径为r、圆心在(a, b)的圆,以(x–a) 2+(y–b) 2=r2表示。

  三维空间里的坐标与二维空间类似,只是多加一个z轴而已,例如半径为r、中心位置在(a, b, c)的球,以(x–a) 2+(y–b) 2+(z–c) 2=r2表示。

  三维空间平面的一般式为ax+by+cz=d。

  三角学

  边长为a、b、c的直角三角形,其中一个夹角为θ。它的六个三角函数分别为:正弦(sine)、余弦(cosine)、正切(tangent)、余割(cosecant)、正割(secant)和余切(cotangent)。

  sinθ=b/c  cosθ=a/c  tanθ=b/a

  cscθ=c/b  secθ=c/a  cotθ=a/b

  若圆的半径是1,则其正弦与余弦分别为直角三角形的高与底。

  a=cosθ    b=sinθ

  依照勾股定理,我们知道a2+b2=c2。因此对于圆上的任何角度θ,我们都可得出下列的全等式:

  cos2θ+sin2θ=1

  三角恒等式

  根据前几页所述的定义,可得到下列恒等式(identity):

  tanθ=sinθ/cosθ,cotθ=cosθ/sinθ

  secθ=1/cosθ,cscθ=1/sinθ

  分别用cos 2θ与sin 2θ来除cos 2θ+sin 2θ=1,可得:

  sec 2θ–tan 2θ=1  及  csc 2θ–cot 2θ=1

  对于负角度,六个三角函数分别为:

  sin(–θ)= –sinθ  csc(–θ)= –cscθ

  cos(–θ)= cosθ  sec(–θ)= secθ

  tan(–θ)= –tanθ  cot(–θ)= –cotθ

  当两角度相加时,运用和角公式:

  sin(α+β)= sinαcosβ+cosαsinβ

  cos(α+β)= cosαcosβ–sinαsinβ

  tan(α+β)= tanα+tanβ/1–tanαtanβ

  若遇到两倍角或三倍角,运用倍角公式:

  sin2α= 2sinαcosα  sin3α= 3sinαcos2α–sin3α

  cos2α= cos 2α–sin 2α cos3α= cos 3α–3sin 2αcosα

  tan 2α= 2tanα/1–tan 2α

  tan3α= 3tanα–tan 3α/1–3tan 2α

  二维图形

  下面是一些二维图形的周长与面积公式。

  圆:

  半径= r    直径d=2r

  圆周长= 2πr =πd

  面积=πr2  (π=3.1415926…….)

  椭圆:

  面积=πab

  a与b分别代表短轴与长轴的一半。

  矩形:

  面积= ab

  周长= 2a+2b

  平行四边形(parallelogram):

  面积= bh = ab sinα

  周长= 2a+2b

  梯形:

  面积= 1/2h (a+b)

  周长= a+b+h (secα+secβ)

  正n边形:

  面积= 1/2nb2 cot (180°/n)

  周长= nb

  四边形(i):

  面积= 1/2ab sinα

  四边形(ii):

  面积= 1/2 (h1+h2) b+ah1+ch2

  三维图形

  以下是三维立体的体积与表面积(包含底部)公式。

  球体:

  体积= 4/3πr3

  表面积= 4πr2

  方体:

  体积= abc

  表面积= 2(ab+ac+bc)

  圆柱体:

  体积= πr2h

  表面积= 2πrh+2πr2

  圆锥体:

  体积= 1/3πr2h

  表面积=πr√r2+h2 +πr2

  三角锥体:

  若底面积为A,

  体积= 1/3Ah

  平截头体(frustum):

  体积= 1/3πh (a2+ab+b2)

  表面积=π(a+b)c+πa2+πb2

  椭球:

  体积= 4/3πabc

  环面(torus):

  体积= 1/4π2 (a+b) (b–a) 2

  表面积=π2 (b2–a2)

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